Duality Methods for Waveform Inversion

We show in this paper how the application of convex duality leads to various reformulations of the classical non optimizable least squares approach to waveform prestack inversion. These reformulations search all for i) a background velocity model and ii) a re-ectivity model deened in the time domain, and linked to the usual depth reeectivity model by prestack depth migration. We show that the data themselve are a good approximation of this optimal time reeectivity unknown when a quantitative migration is used. Hence duality provides a synthetic view of various approaches to prestack inversion, building up a bridge between concepts as diierent a priori as waveform inversion by minimization of data misst and migration velocity analysis. From a pratical point of view, it provides objective functions for the determination of the velocity background (data misst for the Migration Based Travel Time reformulation, norm of the stack of the prestack migrated sections for the Multiple Migration reformula-tion), whose evaluation and optimization by local gradient technique is now feasible, thus eliminating the need for travel time picking or analysis of coherency panels. M ethodes de Dualit e pour l'inversion sismique R esum e : Nous montrons dans ce papier comment la dualit e convexe permet de reformuler le probl eme classique de l'inversion sismique par moindres carr es, qui est connu pour ^ etre non optimisable. Ces reformulations cherchent toutes a d eterminer i) un mod ele de r eeectivit e d eeni dans le domaine temps, et li e a la r eeectivit e habituelle en profondeur par un op erateur de migration. La dualit e permet ainsi d'avoir une vue synth etique des diverses approches de l'inversion avant sommation, montrant par exemple le lien entre des concepts a priori aussi dii erents que l'approche moindres carr es et l'analyse des vitesses de migration. D'un point de vue pratique, elle fournit des fonctions objectif pour la d etermination des vitesses de r ef erence (erreur sur les donn ees pour la reformulation en Temps de Parcours Bas e sur la Migration, norme de la somme des sections migr ees avant sommation pour la reformulation par Migration Multiples), dont le calcul num erique et l'optimisation par des m ethodes de gradient est aujourd'hui possible, ce qui elimine le recours au point e d'horizons sismiques et a l'analyse des panneaux de coh erence.